이전 연재편에서 신뢰성을 판단할 수 있는 기준이 없기 때문에 유한요소해석 모델을 도입하였습니다. 유한요소해석(Finite Element Analysis)는 공학적 분석에 사용되는 컴퓨터 기반 시뮬레이션 기술을 의미합니다.


유한요소법(Finitie Element Method)이라 불리는 수치해석적 방법을 도입하여서 복잡한 현상을 예측하기 위하여 사용되는 방법입니다. 유한요소해석은 고체역학 뿐만 아니라 4대역학을 포함하여 정말 널리 사용되고 있는 방법 중에 하나입니다. 이번 장에서는 유한요소해석 프로그램들을 간단하게 소개하고 전반적으로 해석하는 스텝을 설명을 해드리려고 합니다.


다양한 유한요소해석 프로그램들이 존재합니다. ANSYS, COMSOL, ABAQUS 등 과 같은 소프트웨어 제품 군이 상용적으로 사용되고 있습니다. 일반적으로ABAQUS나 ANSYS의 경우 비 선형적인 거동 분석에 매우 적합하하며 신뢰성 역시 높다고 평가받고 있습니다.

COMSOL은 멀티피직스의 상황에 대해서 해석성능이 우수하고 매우 쉬운 UI로 초보자들이 따라하기 쉬운 프로그래밍 툴입니다. 이러한 유한요소해석은 일련의 단계가 존재합니다. 우선 첫 번째로 본인이 관측하고자 하는 물리 현상을 결정해야합니다.

즉 구조해석, 유체해석, 진동 해석 , 열전달, 화학반응 등 다양한 물리현상들 중에 어떤 현상을 분석할 지 결정하는 것입니다. 이는 본인의 관측하는 물리 현상을 지배하는 방정식이 어디서 출발했는지 확인하면 됩니다.
이로부터 동시에 필요로 하는 물성치가 무엇인지 확인을 해야 합니다. 구조해석에 지배되는 메인 물성치는 탄성계수, 포아송 비, 한도 응력 등등이 될 수 있습니다. 이는 본인이 대상으로 하는 유체의 현상이 궁금하다면 밀도, 유량, 점성, 표면 장력등이 필요할 수 있습니다.

그러므로 본인의 관측하고자 하는 물리 현상을 결정함과 동시에 필요로하는 재료의 물성이 무엇인지 ABAQUS에 입력을 할 수 있습니다. 물성이 정해지면 두 번째로 진행할 단계는 CAD를 기반으로하는 모델링하는 작업입니다. 가령 얇은 평판의 구조 해석 모델링을 예시로 하였습니다. Fig. 2 은 얇은 평판의 주변 경계 조건과 치수를 포함한 도면을 의미합니다.


여기서 검증하고자 하는 이론 모델의 가정을 최대한 반영하도록 경계 조건을 부여하는 것이 중요합니다. 따라서 저는 Fischer의 논문에 맞게 길이 방향으로는 무한하다고 가정하였고 평판 전체에 대해서 해석을 진행하는 것이 아니라 1/4 부분에 대해서 진행을 하고 나머지 부분은 대칭인 조건을 통해서 코스트를 최소화 할 수 있습니다.

또한 각 바운더리에 어떤 조건이 있는지 인가를 해주는 것이 중요합니다. 만약 나뭇잎의 구조라 생각을 하게 된다면 나뭇잎의 중심부는 줄기가 있어 고정되는 역할을 하고 있지만 나뭇잎의 끝 부분은 별도의 잡고있는 부분이 없기 때문에 자유롭게 팽창을 할 수 있고 변화에 대하여 자유롭기 때문에 Free 조건을 부여하였습니다.

또한 양 끝 부분은 고정되어 있기 때문에 이 조건을 반영하여 모델링 작업을 진행하는 것이 중요합니다. 가정조건들이 나중에 결과에 큰 영향을 미칠 수 있다는 것을 숙지하고 정확한 경계 조건을 부여하는 것이 유한요소해석에서는 매우 중요합니다.


위와 같이 모델에 필요한 물성치 값과 경계 조건을 부여하게 되면 그 다음 단계는 바로 Mesh 를 부여하는 것입니다. Mesh는 구조체를 일부분을 쪼개어Node로 구성되어 구성된 하나의 요소를 의미합니다.


Fig. 3에 따르면 Mesh의 종류 역시 다양한 타입으로 존재하는데 단순한 쉘 엘리먼트(Shell element), 사면체(Tetrahedron element) 등등 존재합니다. 따라서 본인이 3차원 이상의 해석을 필요로하면 그에 맞는 메쉬를 선택하는 것이 중요합니다. 가령 저의 경우는 매우 얇은 평판으로 가정하였기 때문에 Shell element의 메쉬를 사용하였습니다.

Mesh를 나누는 것 역시 해석에 있어서 매우 중요한 파트라고 생각합니다. Fig.3 퓨즈를 예시로 들어보았습니다. 아래 그림을 보면 Mesh가 정말 다양하게 분포되있는 것을 확인할 수 있습니다. 이런 Mesh를 구성한 것이 임의로 나눈 것이 아니라 공학적으로 의미가 존재합니다.

특히 Fuse element에서 가장 취약한 부분인 5 6 7 8 구간은 온도가 집중되는 부분이기 때문에 메쉬의 크기 뿐만 아니라 갯수가 많은 것을 확인할 수 있습니다. 그에 반면 1,2 과 11과 12는 메쉬의 크기가 상대적으로 크고 듬성 듬성 구성되있습니다. 만약에 1,2 과11,12번 메쉬를 많은 요소로 나누게 된다면 유한요소해석에 필요로 하는 갯수는 증가하지만 실제 결과에는 큰 영향을 미치지 않을 것 입니다. 왜냐하면 초점을 두고있는 곳은 5,6,7,8번의 온도 변화가 중요한 이슈이기 때문입니다.

해석에 있어서 핵심적인 것은 관측하고자 하는 부분에 대해서는 메쉬를 Fine하게 짜고 결과에 큰 영향을 미치지 않는 곳은 Coarse하게 구성하는 것이 효율적인 분석방법이 될 수 있습니다. 무작정 메쉬를 부여하게 된다면 해석 시뮬레이션은 모든 Node를 계산에 포함시키기 때문에 메쉬를 유동적으로 나누는 것이 매우 중요합니다. 이렇게 메쉬까지 나누게 된다면 해석을 마무리할 수 있습니다.


해석 상황에 따라서 여러개의 물리 현상들이 결합되는 상황이 존재합니다. 제가 진행한 상황은 얇은 평판에 오직 응력만이 작용할 때 변형정도를 예측하는 문제이지만 때로는 복잡한 상황이 발생하기도 합니다. 예를 들면 Fig. 4과 같이 전기적 기판에 열 방출이 발생하고 이에 따른 기판의 응력 변화를 확인하고 싶은 모델이 있다고 가정해봅시다.


 

이러한 상황에서는 지배방정식(PDE)가 3개나 결합되 있는 복잡한 상황을 풀어야만 합니다. 주름 구조의 지배 방정식은 오직 하나의 PDE(Von-Karman equataion)으로 구성되어 있지만 이외에 다른 물리적인 요인들이 존재한다면 3개 이상의 방정식을 풀어야 하는 상황에 접할 수 있습니다.

이러한 상황이 결합된다면 문제를 해결할 때 보다 많은 코스트를 필요로 합니다. 그 이유에 대해서 설명을 드리자면 유한요소법은 결국 일련의 노드와 노드사이의 관계로 부터 다른 노드의 값으로 도출하는 과정입니다.

위에서 fV,fT,fD는 노드 하나에서 알 수 있는 Voltage, Temperature, Displacement에 대한 정보입니다. 위 PDE에서 Temperature의 변수가 모두 종속되 있는 것을 알 수 있습니다. 즉 온도 분포장이 응력 분포에도 영향을 주고 전압 분포에도 혹은 변위 분포에도 영향을 준다는 것을 의미합니다.

따라서 비선형 방정식 문제를 세울 수 있고 구성한 행렬 매트릭스를 모든 Node에 대하여 풀게 되면 해를 구할 수 있습니다. 대표적으로 COMSOL에서는 이러한 문제를 풀기 위해서 Fully Coupled M방법과Segregated Approcach로 각 노드별 행렬을 계산하게 됩니다.


Fig. 5은 유한요소 풀이 방법의 대표적인 두 가지 수치해석적 방법을 설명합니다. 첫 번짼는 Fully Coupled된 상황에 대해서 문제를 푸는 것입니다. 이 경우 모든 변수가 결합되 있는 상황으로 해를 동시에 얻어낼 수 있습니다. 즉 한번의 계산으로 전압, 온도, 변위의 노드 데이터를 하나로 도출해낼 수 있는 것을 의미합니다. 하지만 이 계산 방법은 매 스텝별 필요로 하는 시간과 메모리가 상대적으로 높습니다.

또한 Newton-Rapshon 방식으로 접근하기 때문에 수렴이 안되는 문제가 종종 발생하곤 합니다. 지배 방정식 행렬이 비대칭적이면 많은 양의 메모리와 시간이 소요되기 때문에 비효율적인 방법이될 수 있습니다. 일반적으로 2D 모델에 적합합니다. 그에 비하여 Segregated Approach는 물리현상을 종류별로 분리하여 반복 계산을 통하여 해를 구하는 것입니다. 즉 전압에 관련된 변수는 전압을 지배하는 방정식으로 부터 별도로 구하고 응력과 관련된 변수는 이에 맞는 지배방정식으로 부터 구하여 각각의 결과를 또 다른 식에 대입하는 것을 의미합니다.

이 방법의 장점은 스텝별로 필요로 하는 메모리와 시간이 적게듭니다. 하지만 모든 변수를 한번에 구하는 Fully Coupled된 문제와 다르게 한번에 동시에 구할 수 없기 때문에 때론 값이 적절하지 않거나 올바른 수렴값을 도출해내지 않는 경우가 많습니다.

3D 모델이나 복잡한 현상에 대해서 적용하기에 적합하고 스텝 별 메모리가 적기 때문에 발산을 하는 경우가 적어 많은 곳에 사용되는 방법입니다. 지금까지 유한요소 방법과 관련된 기초적인 내용들에 대해서 소개를 하였습니다.


아직 논문에 게재되지 않은 내용이라 이 글에 직접적으로 소개하지는 못하였으나 일부 결과를 공유하자면 유한요소 방법을 통하여 이론 모델을 Fig. 6와 같이 검증할 수 있었습니다. 지금까지 주름 구조를 예측할 수 있는 이론 모델에 대한 설명과 이를 파이썬과 MATLAB을 통하여 구축하고 유한요소해석 모델을 통하여 검증하기 위한 기본적인 내용들을 알려드렸습니다.