주름 구조 해석을 위하여 진행한 이론 모델링과 유한요소해석 방법에 대해서 서술하려고 합니다. 이론적인 접근을 위하여 MATLAB과 파이썬을 위주로 진행하였고 유한요소해석은 ABAQUS라 하는 상용프로그램 시뮬레이션을 사용하였습니다.



좌굴에 의한 웨이브를 예측하는 연구는 과거에 많이 진행되어 왔습니다. 수치적, 실험적, 이론적인 다양한 방법들을 동원하여서 어떤 얇은 평판에 생기는 웨이브를 예측하고자 하였습니다. 일반적으로 좌굴 분석은 두 가지로 나눠볼 수 있을 것 같습니다. Pre-Buckling 해석과 Post-Buckling 해석입니다.

일단은 무작정 따라해보자란 마인드로 여러가지 좌굴 분석들 중에서 우선 쉽고 간단한 Pre-Buckling 모델 부터 공부를 해보았습니다. 제 주제가 나뭇잎의 구조를 분석한다고 설명하였는데 내용을 보시면 철강 압연 제조 상에서 발생되는 웨이브를 예측하는 모델에서 출발할 것 입니다.



나뭇잎의 주름 구조나 압연 공정 중 발생되는 웨이브 현상 모두 좌굴에 의하여 발생됩니다. 이 때 좌굴 현상을 발생하는 주 원인이 다를 뿐이지 좌굴에 의한 변형 정도를 예측하는 방법은 나뭇잎의 구조나 철강 소재의 웨이브를 예측하는 것 모두 똑같습니다.

나뭇잎은 수분 흡착에 의한 비 균일한 성장 속도로 인하여 주름이 나타나는 것이며 철강 평판이 주름지는 현상은 열적 소성 변형에 따른 잔류 응력 분포에 따라서 주름이 나타나는 것입니다. 그렇기 때문에 응력을 유발하는 소재가 다를 뿐이지 응력에 의하여 좌굴이 발생되는 메커니즘은 두 가지 모두 비슷하기 때문에 보다 접근하기에 쉽고 인용수도 높은
Fischer의 예측 모델에서부터 출발을 하였습니다.



제가 처음으로 찾아본 논문은 바로 Fischer란 저자의 논문[1-3]입니다. 이 논문에 대해서 간략하게 설명을 드리면 압연 공정 이후 형성되는 잔류 응력 분포에 따라서 박물재 표면에 물결이 치는 현상과 관련된 이론 모델에 대한 내용입니다.

주름 구조에 대한 연구는 나뭇잎의 주름 현상을 직관적으로 관찰해서 감명받아 시작한 것이 아니라 처음에는 공정에서 발생되는 현상을 알게 되었고 이를 통해서 공부를 하다 보니 나뭇잎의 주름 현상 역시 공정 상 발생되는 문제점과 유사하다는 생각으로부터 연구를 시작해보았습니다.

저는 철강 공정에서 오랜기간 인정받아온 Fischer의 웨이브를 예측하는 이론 모델에서 시작하였습니다. Fischer는 매우 얇은 철판을 압연 공정을 통해서 제조할 때 표면 위에 발생되는 주름 현상과 판 내 존재하는 잔류 응력의 분포 사이의 관계 Pre-buckling 해석에 입각하여 이론적인 예측을 하였습니다.

우선 압연 공정에 대해서 짧게 설명을 드리도록 하겠습니다. 철강 제조업은 얇은 철판과 같은 박물재를 제조할 때 Fig 1. 과 같은 압연 공정을 통하여 두꺼운 슬래브를 롤링 하여 앏은 평판으로 제조합니다.



두터운 금속을 얇게 뽑기 위해서는 강한 변형을 필요로 합니다. 따라서 매우 높은 온도로 가열하고 위 아래에 강한 압력으로 하중을 가하여 매우 얇게 뽑아내게 됩니다.

이와 같은 소성 변형을 통해 금속이 변형되게 되면 대부분의 경우 금속 내부에는 잔류응력이 형성됩니다. 잔류 응력 (Residual stress)는 외부 하중을 가하지 않아도 재료에 존재하는 모든 응력의 형태입니다. 잔류 응력은 처음 구성 요소에서부터 존재할 수도 있으며 적용되는 하중 및 변형으로 자연스럽게 변화할 수 있습니다. 이런 잔류 응력은 부품의 작동에 영향을 미칠 수 있고 구조 및 치수 안정성에 피로를 주기도 하며 파손의 원인이 되기도 합니다.



이런 잔류 응력이 열간 압연 공정을 거치게 되면 금속 내부에 분포하게 됩니다. Fig. 2-3은 이런 잔류 응력 구배가 표면 조도를 저하시키는 주름으로 발생하는 것을 알 수 있습니다. 이는 나뭇잎의 주름 구조 현상인 Fig.4 와 유사합니다.



나뭇잎의 경우에는 완전 성장을 하기 전까지 잎사귀의 끝 부분과 중앙 부분이 성장속도가 다릅니다. 따라서 비 균일한 성장 속도로 인하여 최종적으로 나뭇잎의 구조는 잎사귀 끝 부분이 주름지는 것을 알 수 있습니다. 이러한 현상이 철강 제조 공정과 매우 유사한 것을 알 수 있습니다. 즉 좌굴에 의한 웨이브를 발생시키는 주 원인이 철강 제조업은 잔류 응력, 나뭇잎의 구조는 성장 속도라고 이해하시면 될 것 같습니다.

이 때 재밌는 사실은 잔류 응력의 압축 응력의 분포가 Edge 부분(Fig. 2)에 존재할 때혹은 Center 부분(Fig. 3)에 작용 할 때 웨이브 형상 역시 달라지게 됩니다.



Fig 2. 는 그림으로만 보아도 판의 Edge 부분에 웨이브가 주로 형성된 것을 알 수 있습니다. 이와 반대로 Fig 3. 에서는 중앙부에 주름이 잡혀 있습니다. Fischer는 Center와 Edge에서 발생되는 웨이브 현상에 관계 없이 어떤 응력 분포가 주어질 때 웨이브가 어떻게 형성되는지 이론적으로 예측하였습니다.


좌굴에 의한 주름 구조를 분석하기 위해서 Fischer는 Fig. 5와 같은 모델을 제안합니다. 이는 Fig. 2-3의 실제 결과를 모사한 상황으로 이해할 수 있습니다. 가해지는 응력 분포의 형태가 Center부분에 압축 응력(Compressive stress)이 집중되면 Center에 집중적인 주름을 발생시키고 반면 Edge 부분에 압축 응력이 집중되면 Edge에 주름이 발생됩니다