나뭇잎은 대체 왜 이러한 주름 현상이 발생하는 걸일까요? 이번 챕터는 표면 불안정성이 발생되는 이유를 물리적인 관점에서 살펴보고자 합니다. 이 현상을 이해하기 위해서는 우리는 좌굴 (Buckling) 현상에 대해서 먼저 이해를 할 필요가 있습니다.



사전적인 의미로 좌굴이란 현상은 압축하중이 가해질 때 부재에서 발생되는 비선형적 거동 중에 하나로 급격한 변형을 수반하여 기계적인 파손으로 이어질 수 있는 현상을 의미합니다. 하중, 비선형, 기계적 파손 등 전공 위주의 단어로 설명되어 있기 때문에 간단한 예시로 설명을 드리도록 하겠습니다.



위와 같은 음료수 알루미늄 캔을 예시로 들어볼 수 있습니다. 어렸을 때 이 알루미늄 캔을 밟으면서 놀았던 기억들이 다들 있으실 겁니다. 위에서 알루미늄 캔을 밟는다고 상상을 해봅시다. 강하게 밟지 않고 살짝 얹히는 느낌으로 캔을 밟으면 캔의 변형이 일어나지 않으면서 하중을 버텨내고 있는 것을 알 수 있을 것입니다.

기계공학에서는 이 구간을 ‘Pre-buckling’이라고 합니다. 부재의 변형은 적지만 힘을 버텨내는 구간입니다. 이후에 캔에 가해지는 하중을 점차적으로 증가시키다 보면 어느 순간 갑작스럽게 캔이 찌그러지는 현상을 볼 수 있습니다. 여기서 찌그러지는 그 순간을 바로 좌굴의 시작점이라고 볼 수 있습니다. 그리고 좌굴은 ‘임계 좌굴 하중’이라 불리는 특정한 기준점 이상을 넘어서야만 발생됩니다.
따라서 이 기준점을 전으로 구조물의 변형은 매우 적게 일어나고 변형에 필요한 힘은 상대적으로 큽니다. 이후에 힘의 증가에 비하여 변형이 급격하게 발생하면서 찌그러지는 실제 구간을 ‘Post-buckling’ 이라고 합니다.

좌굴 현상을 자세히 나누어서 보면 좌굴 전과 좌굴 이후로 구분됩니다. 이런 좌굴 현상은 얇은 구조물, 즉 한 변의 길이에 비하여 다른 변의 길이가 매우 짧은 경우에 보다 쉽게 발생하는 경향을 보입니다. 혹은 부재 면의 방향과 하중의 방향이 수직일 때 발생을 많이 합니다. 알루미늄 캔을 위에서 밟을 때는 강한 힘을 가해야만하고 반대로 옆면에서는 살짝만 눌러도 쉽게 찌그러지는 것을 볼 수 있습니다.




기계공학에 있어서 좌굴 발생을 예측하고 적절한 안전 계수를 부여하여 구조체에 변형이 발생되지 않는 설계를 하는 것이 중요합니다. 또한 좌굴에 따른 변형 정도를 예측하는 것은 아직까지 흥미로운 연구 주제입니다.



좌굴은 임계 하중에 따라서 ‘Pre-buckling’ 구간과 ‘Post-buckling’ 구간으로 나뉘어 지고 그 기준점은 바로 ‘임계 좌굴 하중’ 입니다. 아래 Fig. 2를 참조하면 보다 쉽게 이해할 수 있을 것입니다. 아래 그래프에서 Y축은 부재에 가해지는 하중을 의미합니다. X축은 변형 정도를 의미합니다. Pre-buckling 구간에서는 부재의 변형 정도와 하중 사이의 관계가 직선 형태로 비례하는 것을 알 수 있습니다.

이것이 의미하는 바는 좌굴이 시작하기 직전까지는 우리가 알루미늄 캔을 밟을 때 변형을 증가하기 위해서는 그에 상응하는 힘을 주어야 되는 것을 의미합니다. 이는 실제 경험과 일치합니다. 캔이 찌그러지기 전에는 매우 견고하에 무게를 버티고 있는 것을 확인할 수 있습니다.



하중을 강하게 증가시키다 보면 ‘임계좌굴하중’에 도달하게 됩니다. 캔을 밟다가 순간적으로 특정한 힘 이상을 가하게 되면 갑자기 찌그러지면서 쉽게 변형되는 것을 알 수 있습니다. 이 구간에서는 큰 힘을 주지 않아도 쉽게 변형이 됩니다. 이 좌굴 전과 좌굴 후 과정은 차이점이 큽니다. 좌굴 후에 구간은 변형 정도가 정말 크기 때문에 눈에 띄기도 하지만 좌굴 이전 구간에서는 아무리 힘을 크게 증가하여도 변형정도가 쉽게 눈에 띄지 않습니다.

‘Post-buckling’ 해석은 ‘Pre-buckling’에 비하여 매우 어렵습니다. 그래프를 보았을 때 선형적인 관계를 하는 것은 ‘Pre-buckling’ 구간이 되며 비 선형적인 거동을 보이는 것이 ‘Post-buckling’ 구간이 되게 됩니다. 일반적으로’Pre-buckling’ 해석은 선형적인 관계에 있기 때문에 단순하게 수식적으로 문제를 풀 수 있다는 것이 특징입니다.

공대생들은 아마 대학교 학부시절에 ‘선형 대수학’ 과목에서 배운 ‘Eigenvalue-problem’을 적용하여 접근할 수 있습니다. 물론 ‘Pre-buckling’ 해석은 우리들에게 언제 좌굴이 시작되고 그 임계점을 알려준다는 장점이 있습니다.

하지만 이후 변형이 발생하여 어느정도 찌그러지고 어떤 길이를 갖는지에 관련된 정보는 ‘Pre-buckling’ 분석으로는 알 수 없습니다.

우리가 실제로 변형이 발생되는 정도를 알기 위해서는 ‘Post-buckling’ 해석을 통하여 접근해야만 합니다. 그런데 이 ‘Post-buckling’ 해석은 너무나도 복잡하고 어렵기 때문에 단순히 이론적으로 예측할 수 없습니다. 많은 수치적인 방법들을 동원하여 접근하곤 합니다.



비선형 거동을 보이는 ‘Post-Buckling’ 구간에서는 위와 같은 수치적인 방법으로 접근하여 문제를 풀곤 합니다. 연구실에서 가장 흔하게 사용되고 있는 수치해석 프로그램 및 시뮬레이션인ABAQUS, ANSYS, COMSOL 등을 통하여 해결할 수 있습니다.



위에서 좌굴에 대한 간략한 설명과 이론적인 배경을 설명하였습니다. 이번 연구 테마인 나뭇잎의 주름 현상은 바로 이 좌굴 현상으로 발생되는 문제입니다. 주름 현상은 어떤 매우 얇은 평판에 작용하는 압축 하중에 의한 좌굴 변형이라고 말할 수 있습니다.

A4용지를 알루미늄 캔을 밟는다 생각하여서 위에서 강하게 눌러도 종이가 변하거나 찢어지지 않습니다. 그러나 만약에 종이 면 두께 방향으로 살짝만 힘을 주면 웨이브처럼 휘게 되는 것을 확인할 수 있습니다. 즉 이렇게 얇은 판 구조는 위에서 누르는 압축 하중에 대해서는 매우 강하지만 두께에 수직한 방향으로 가해지는 압축 응력에 매우 취약하며 이로 인하여 좌굴이 발생하는 것입니다.


 

Fig. 3을 통해서 간단히 설명을 하면 얇은 구조물이 있는 평평한 평면에 σ_x^i (y) 라 하는 응력 분포가 가해진다고 가정을 할 수 있고 이렇게 가해진 응력 분포 중에서 압축 응력과 인장 응력이 섞여 있을 때 좌굴을 발생시키는 주 원인은 바로 압축 응력이 됩니다. 따라서 그림에서 보는 것처럼 끝 부분에서 웨이브가 발생되는 주름 패턴이 형성될 것입니다. 여기서 주름은 규칙적으로 형성될 것이며 이에 따른 변형 변수를 웨이브의 파장 L과 진폭 A로 볼 수 있습니다.

주름 현상의 변형 정도를 예측하는 기본적인 모델은 위와 같은 상황으로 설명할 수 있습니다. 또한 만약 우리가 관심있는 것이 ‘임계좌굴하중’이 아니라 좌굴 이후 변형이 어떻게 되는지 궁금하다면 ‘Post-buckling’ 해석으로 접근해야만 합니다. 이러면 문제가 상당히 복잡해집니다.

이번 연구에서 이 주름 문제를 해결하기 위하여 고전 판 이론 (Classical Plate Theory)에 따른 에너지 방법에 대하여 공부를 하였습니다. 에너지 방법은 Ritz가 제안한 구조물의 변형을 예측할 수 있는 방법론 중 하나로 변형 에너지를 계산하여 수치적으로 접근하는 방법입니다. 기본적인 연구의 이론적인 설명은 여기까지 마치도록 하겠습니다.